考研数学解法公式全解析

考研数学对于众多考生来说，无疑是一座颇具挑战性的大山，在备考过程中，掌握各种解法公式是攻克这座大山的关键所在，考研数学解法公式究竟是什么呢🧐？

函数与极限

基本函数公式
- 一次函数：$y = kx + b$（$k$，$b$为常数），其图像是一条直线，当$k = 2$，$b = 1$时，函数$y = 2x + 1$。
- 二次函数：$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，比如函数$y = 2x^2 + 4x - 3$，$a = 2$，$b = 4$，$c = -3$，对称轴为$x = -\frac{4}{2\times2} = -1$，将$x = -1$代入函数可得顶点纵坐标为$2\times(-1)^2 + 4\times(-1) - 3 = -5$，即顶点坐标为$(-1, -5)$。
- 指数函数：$y = a^x$（$a\gt0$且$a\neq1$），当$a\gt1$时，函数单调递增；当$0\lt a\lt1$时，函数单调递减，y = 2^x$是单调递增函数，$y = (\frac{1}{2})^x$是单调递减函数。
- 对数函数：$y = \log_a x$（$a\gt0$且$a\neq1$，$x\gt0$），与指数函数互为反函数，如$y = \log_2 x$，其定义域为$x\gt0$。
函数的运算公式

加法：$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$，f(x) = 2x + 1$，$g(x) = 3x - 2$，则$(f + g)(x) = (2x + 1) + (3x - 2) = 5x - 1$。
减法：$(f - g)(x) = f(x) - g(x)$，继续上面的例子，$(f - g)(x) = (2x + 1) - (3x - 2) = -x + 3$。
乘法：$(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)$，若$f(x) = x$，$g(x) = x + 1$，则$(f\cdot g)(x) = x(x + 1) = x^2 + x$。
除法：$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$（$g(x)\neq0$），f(x) = x^2$，$g(x) = x$（$x\neq0$），则$(\frac{f}{g})(x) = x$。

极限的四则运算法则
- $\lim\limits{x\to a}[f(x) + g(x)] = \lim\limits{x\to a}f(x) + \lim\limits{x\to a}g(x)$，已知$\lim\limits{x\to 1}f(x) = 2$，$\lim\limits{x\to 1}g(x) = 3$，\lim\limits{x\to 1}[f(x) + g(x)] = 2 + 3 = 5$。
- $\lim\limits{x\to a}[f(x) - g(x)] = \lim\limits{x\to a}f(x) - \lim\limits_{x\to a}g(x)$。
- $\lim\limits{x\to a}[f(x)\cdot g(x)] = \lim\limits{x\to a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to a}g(x)$。
- $\lim\limits{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits{x\to a}f(x)}{\lim\limits{x\to a}g(x)}$（$\lim\limits{x\to a}g(x)\neq0$）。
两个重要极限

$\lim\limits{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，这个极限在很多三角函数相关的极限计算中非常重要，求$\lim\limits{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$，可将其变形为$\lim\limits{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3\lim\limits{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x} = 3\times1 = 3$。
$\lim\limits{x\to\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$，比如计算$\lim\limits{x\to\infty}(1 + \frac{2}{x})^x$，可变形为$\lim\limits_{x\to\infty}[(1 + \frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^2 = e^2$。

基本函数导数公式
- $(C)^\prime = 0$（$C$为常数），例如常数函数$y = 5$，其导数$y^\prime = 0$。
- $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，如$(x^3)^\prime = 3x^2$。
- $(\sin x)^\prime = \cos x$。
- $(\cos x)^\prime = -\sin x$。
- $(a^x)^\prime = a^x\ln a$（$a\gt0$且$a\neq1$）。(2^x)^\prime = 2^x\ln 2$。
- $(\log_a x)^\prime = \frac{1}{x\ln a}$（$a\gt0$且$a\neq1$），如$(\log_3 x)^\prime = \frac{1}{x\ln 3}$。
导数的四则运算法则

$(u + v)^\prime = u^\prime + v^\prime$，设$u = x^2$，$v = 3x$，则$(u + v)^\prime = (x^2)^\prime + (3x)^\prime = 2x + 3$。
$(u - v)^\prime = u^\prime - v^\prime$。
$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，若$u = x$，$v = \sin x$，则$(uv)^\prime = (x)^\prime\sin x + x(\sin x)^\prime = \sin x + x\cos x$。
$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$（$v\neq0$），u = x^2$，$v = x$（$x\neq0$），$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{(x^2)^\prime x - x^2(x)^\prime}{x^2} = \frac{2x\cdot x - x^2\cdot1}{x^2} = 1$。

罗尔定理：如果函数$f(x)$满足：（1）在闭区间$[a, b]$上连续；（2）在开区间$(a, b)$内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即$f(a) = f(b)$，那么在$(a, b)$内至少有一点$\xi$（$a\lt\xi\lt b$），使得$f^\prime(\xi) = 0$，例如函数$f(x) = x^2 - 1$在$[-1, 1]$上，$f(-1) = f(1) = 0$，$f^\prime(x) = 2x$，令$f^\prime(x) = 0$，解得$x = 0\in(-1, 1)$。
拉格朗日中值定理：如果函数$f(x)$满足在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$内可导，那么在$(a, b)$内至少有一点$\xi$（$a\lt\xi\lt b$），使得$f(b) - f(a) = f^\prime(\xi)(b - a)$，f(x) = x^2$在$[1, 2]$上，$f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 3$，$f^\prime(x) = 2x$，由拉格朗日中值定理可得$f(2) - f(1) = f^\prime(\xi)(2 - 1)$，即$3 = 2\xi\times1$，解得$\xi = \frac{3}{2}\in(1, 2)$。

函数单调性：设函数$y = f(x)$在某个区间内可导，f^\prime(x)\gt0$，则函数$y = f(x)$在该区间内单调递增；f^\prime(x)\lt0$，则函数$y = f(x)$在该区间内单调递减，例如对于$f(x) = x^2 - 2x$，$f^\prime(x) = 2x - 2$，令$f^\prime(x)\gt0$，即$2x - 2\gt0$，解得$x\gt1$，f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增；令$f^\prime(x)\lt0$，即$2x - 2\lt0$，解得$x\lt1$，f(x)$在$(-\infty, 1)$上单调递减。
函数极值：求函数极值的步骤：（1）求导数$f^\prime(x)$；（2）求方程$f^\prime(x) = 0$的根；（3）检查$f^\prime(x)$在方程根左右两侧的符号，如果左正右负，f(x)$在这个根处取得极大值；如果左负右正，f(x)$在这个根处取得极小值，f(x) = x^3 - 3x$，$f^\prime(x) = 3x^2 - 3$，令$f^\prime(x) = 0$，即$3x^2 - 3 = 0$，解得$x = \pm1$，当$x\lt - 1$时，$f^\prime(x)\gt0$；当$-1\lt x\lt1$时，$f^\prime(x)\lt0$；当$x\gt1$时，$f^\prime(x)\gt0$，f(x)$在$x = -1$处取得极大值$f(-1) = (-1)^3 - 3\times(-1) = 2$，在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 1^3 - 3\times1 = -2$。

基本++公式
- $\int kdx = kx + C$（$k$为常数），\int 5dx = 5x + C$。
- $\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq - 1$），如$\int x^3dx = \frac{1}{4}x^4 + C$。
- $\int\frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$。
- $\int\sin xdx = -\cos x + C$。
- $\int\cos xdx = \sin x + C$。
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$（$a\gt0$且$a\neq1$），\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}+C$。
不定++的性质

$\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$，\int(x^2 + 3x)dx = \int x^2dx + \int 3xdx = \frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2 + C$。
$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$为常数），若$k = 2$，$f(x) = x$，则$\int 2xdx = 2\int xdx = 2\times\frac{1}{2}x^2 + C = x^2 + C$。

牛顿 - 莱布尼茨公式：如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的一个原函数，\int{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$，例如计算$\int{1}^{2}x^2dx$，因为$F(x)=\frac{1}{3}x^3$是$x^2$的一个原函数，\int{1}^{2}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big{1}^{2}=\frac{1}{3}\times2^3-\frac{1}{3}\times1^3=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$。
定++的性质
- $\int{a}^{b}kf(x)dx = k\int{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），\int{0}^{1}2xdx = 2\int{0}^{1}xdx = 2\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}=1$。
- $\int{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx = \int{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$。
- $\int{a}^{b}f(x)dx = -\int{b}^{a}f(x)dx$。
- $\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$。
在考研数学的备考中，熟练掌握这些解法公式是至关重要的，它们就像是打开数学难题大门的钥匙🔑，通过不断地练习和运用，考生们才能在考试中更加游刃有余地应对各种题型，取得理想的成绩💪！希望广大考生都能重视这些公式，扎实复习，向着自己的目标奋勇前进🚀！